应用型本科《高等数学》教材建设研究与实践

谢克藻

   摘要：应用型本科《高等数学》教材要突出应用，“以应用为目的，以必须够用为度”，有机协调地发掘《高等数学》的“工具性”功能、“数学思维”功能及“数学文化”功能，为培养高素质应用型人才，发挥《高等数学》应有的作用．

关键词：应用型本科，高等数学，教材建设，大众化教育

课程是通过教材的中介形式在教学中“流通”而付诸实践的，因而教材既要是教学内容的信息“源”，又要是教学过程中使得教育对象可接受的信息“流”．国内工科《高等数学》教材版本繁多，有些堪称经典之作，如由高等教育出版社出版的同济大学的《高等数学》就是其中之一[1]．这些经典版本不仅有较高的科学性，同时又在不断再版的过程中锤炼和刷新了内容，保持着先进性．但是，对于“大众化教育”阶段的应用型本科生，就学习高等数学的准备状态而言，采用这种经典之作往往会造成传授和接受的“脱节”，难以实现“源”到 “流”的转变．近几年，不断有专供应用型本科使用的《高等数学》版本出现，如由邓建中主编西北大学出版社出版的《高等数学》就是其中之一[2]．这类教材注意到了面对的读者群体的知识基础和理解能力，注意在选材与编排上“因材施教”．但是为“大众化教育”阶段的应用型本科生编写教材是一件创新劳动，有很多问题尚待教材建设者们共同解决．如“必须够用为度”中的“用”如何细化到各个知识点上，“度”又应该如何把握？又如怎样才能保证既“删繁就简”又不至于割舍课程的基本原理和思想方法？解决好这些问题才能编写出适合学生实情，把握时代脉搏，紧扣应用型本科培养目标的好教材．

1．《高等数学》课程育人功能分析

作为课程的《高等数学》是以微积分为主干，涵盖了解析几何与矢量代数，级数理论，矢量分析的一个相对完整的理论体系．正因为这样的框架结构和内容，才确立它在高等院校中作为公共基础课的地位．在各级各类高校的各专业课程板块中，《高等数学》为实现育人目标发挥着“工具性”功能、“数学思维”功能及“数学文化”功能．其作用是任何其他课程都无法取代的．

1．1．《高等数学》的“工具性”功能

《高等数学》的“工具性”功能表现形式有直接“工具”和间接“工具”两种．例如各个专业都会遇到“最优化”问题；机械、测量等专业所遇到的曲线曲率问题；经济、管理等专业所遇到的边际分析、弹性分析、利润分析；诸如此类都要直接以《高等数学》的相应知识来处理和解决，同时很多专业理论建立都要用到数学知识和数学方法，就是说在这些情况下，《高等数学》在学习相应专业理论、解决相应专业领域的实际问题时，其“工具性”直接表现出来了．另一方面，很多专业在学习专业课时要用到《高等数学》以外的一些基础课程，如一般工科会用到力学、电磁学等，没有《高等数学》的知识和思想方法是无法叩开这些基础课程的大门的．这时《高等数学》的“工具性”是间接的，隐形的，犹如一位做好事不留名的“公仆”．

“微积分的出现，与其说是整个数学史，不如说是整个人类历史的一件大事．它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又回过头来深刻地影响着生产技术和自然科学的发展．假设我们现在把微积分从工程技术、天文、物理等学科中抽出，那将是不可想象的事．微积分对今天的自然科学工作者来说，越来越像望远镜之于天文学家，显微镜之于生物学家一样重要了”．这是梁宗巨先生在他的《世界数学史简编》[3]中对微积分的“工具性”功能所作的一个评估，这个评估是实在而又公正的，一点不虚夸，但我们不得不为梁宗巨先生作补充，其实对于社会科学工作者，微积分也是得心应手的工具．马克思说：“一门科学，只有当它成功运用数学时，才能达到真正完善的地步”．这里所说的“一门学科”并未限定在自然科学范围，它是指自然科学、社会科学中的任何一门科学．

1．2．《高等数学》的“数学思维”功能

恩格斯说：“数学是思维训练的体操”．《高等数学》是遵从数理逻辑来针对研究对象展开思维活动的，在学习《高等数学》的过程中学生的逻辑思维能力必然得到锻炼和启迪．而逻辑思维则是思维合理、合情、清晰、有序的保证．

《高等数学》在培养学生的“创新思维”过程中所起到的作用也是不可低估的．当我们通过工程背景提炼重要概念时，使学生懂得从具体到一般的归纳推理；当我们“执果索因”地分析现象和题目时，学生学会了“逆向思维”；当我们通过概念的比较而提出“猜想”时，学生学会了“类比思维”；当我们“欲合先分”“欲简先繁”的解题时，学生学会了“辩证思维”；当我们列举同一条件可导致的多个结果时，学生学会了“发散思维”等等．而上述思维品质正是“创新思维”的要素．

有这样一种说法：“计算机的工作原理是‘二值逻辑’而高等数学是在连续的实数域中研究函数的，因而学习计算机课程无须以高等数学为基础课．”在这里我们首先得分清一门课程的逻辑基础和研究对象这两个不同的概念，“连续集”及“连续”是《高等数学》的研究对象，不是《高等数学》的逻辑基础．和计算机一样，《高等数学》的逻辑基础是数理逻辑，是二值逻辑（“是”与“非”）．“连续”是从“渐变”过程中抽象出的一个数学概念，自然界存在着大量的“渐变”过程，比如说生物的生长，气温的变化，飞机着陆时距离地面的高度变化等．计算机在处理这些方面的问题时，不也是把“连续”作为了研究对象吗？比如说，要用“Flash”表达一粒树种从发芽到长成参天大树的过程，计算机是用“离散”逼近“连续”的．而这种“逼近”的方法则是极限思想的应用，其思想、其方法本身都源于《高等数学》．此外，《高等数学》大量的运用了“逻辑连接词”和“量词”（），这为计算机专业学生学习“数理逻辑”时提供了很好的素材．

1．3．《高等数学》的“数学文化”功能

和数学的其它分支一样，《高等数学》的文化底蕴是厚重的．它承载着人类文明的进程．从古代极限思想的萌发到“流数术”的出现，再到极限的“算术化”定义的出现，《高等数学》纳入了人类各个历史时期的智慧结晶．进入《高等数学》便进入了瑰丽而又圣洁的文化氛围．攻读《高等数学》是一种接受陶冶、进行修炼的有效方式．人文“教化”的最终目的是“教人做人”．21世纪，在一个和谐社会的公民人格结构中科学的处世态度、辩证的思维方法、创新而务实的精神、果敢而又严谨的作风、遵从合理程序行事的习惯、自觉的环保行为都是不可缺的素质．而学习《高等数学》，受“数学文化”的陶冶则可促进上述素质的形成与发展[4]．

2． 《高等数学》教材选材原则分析

在《高等数学》的上述三个育人功能中，“工具性”功能有立竿见影的作用，学了就能用，能做到“短、频、快”．而后两个功能体现在一个人的终身学识、能力的形成和发展之中，是人才可持续发展的一种“能源”，即“知”与“行”的“后劲”所在．因而《高等数学》遴选内容时必须兼顾这三个功能，使得它在实现应用型本科人才培养目标中作用发挥到最优境界．

2．1． “知行结合”原则

先看逻辑斯蒂（Logistic）曲线这样一个例子[5]．

Malthus(英)1798年提出：人口规模变化率是人口规模的正比例函数，对自然界的其它物种也适用，这就是物种增长的Malthus模型．荷兰科学家Verhulst 1840年提出：由于生存资源的有限性及物种间成员的竞争使得物种数量增长受到约束，于是在有限的资源下，物种有一个最大容量k．综合这两个原则可得到，物种规模变化率，与现时规模x成正比，且与k-x成正比，故此

                     ．

其中r为比例常数．解此微分方程可得种群规模函数，又称“大道函数”

                        ．

其中（c为积分常数），．该函数的图像就是有名的逻辑斯蒂曲线．如图所示．

这里是渐近线，是它的拐点，当时，（凹向上），则增长速度（）不断加快；当时，（凹向上），则增长速度（）不断放慢，并越来越接近于零增长．逻辑斯蒂曲线的拐点对于我们建设开发是很有参考价值的．

比如，鱼群是一种再生资源，对于一个确定的的水域来说，我们是能够根据水域面积及水量、水质、周边自然条件确定出该水域鱼群规模饱和值的，从而建立起该水域鱼群现时值x的逻辑斯蒂曲线模型，并求出其拐点．然后用建立起的这一模型，制定科学的捕捞方案，做到开发利用与生息修养和谐并举，其实对于森林资源、天然中草药等资源的开发利用时，都应建立起这样一个模型，才能做到科学从事，避免盲动．

再说大一点，对一个经济区域，我们是可以对该区域的资源、能源、人力、交通、经济地位、周边环境等进行综合评估，从而定出国民生产总值的饱和值的，那么就很容易得到该区域的国民生产总值的逻辑斯蒂曲线模型来．假设所建的曲线拐点为，若该区域的国民生产总值已超过了，而发展速度亦然不减，那么很可能有过度开发、破坏持续发展能力的隐患存在，值得反思，应该迅速查找，以便步入良性循环的发展道路；若该区域的国民生产总值尚未超过拐点的纵坐标，发展速度逐年攀升是难以避免的，但是也要时时警示，走和谐发展、可持续发展的道路．

“大道函数”明大道之理，《高等数学》的“工具性”功能、“数学思维”功能和“数学文化”功能在“逻辑斯蒂曲线”这一实例中都能体现出来．其实这三个功能在很多知识点上是交互相伴作用的，只不过倾向不同而已．例如，“极限”这个知识板块，其“工具性”功能、“数学思维”功能和“数学文化”功能三者并重；又如，“中值定理”这个板块则侧重于课程体系结构的需要，“数学思维”功能明显，兼有“工具性”功能，其次是“数学文化”功能；再如，“极值讨论”重在“工具性”功能．

上述分析使我们有可能在选材时突出应用，“以应用为目的，以必须够用为度”，做到“工具性”功能、“数学思维”功能和“数学文化”功能有机、协调、同步发掘．可称这样一个选材的主张为“知行结合”原则，即所选内容能满足提升知识、学识、能力、修养的共同需求．

2．2． 突出课程“主结构”原则

要突出应用必然增加应用、建模之例；要保证“数学思维”功能就要有相对完善的理论体系．但我们不能不顾及有限的课时而随意扩充内容，解决这一矛盾的途径是突出高等数学课程内容的主结构，探寻原理，勾勒逻辑链条，集约化的搭建理论框架．

例如，我们通过“考察平面流体速度场中闭曲线所围成区域的流出量”这样一个实例．引入“格林公式”然后将“格林公式”中的闭曲线推广为闭曲面，便得到“高斯公式”，又将平面闭曲线扩充为空间闭曲线便得到“斯托克斯公式”．舍去生涩难懂而又冗长的证明过程，凸显了原理，保证了逻辑链条的贯通[6]．

2．3． “案例优化”原则

为了保证应用举例既有时代性又能体现“通法”，起到触类旁通的作用，我们与理论同步，加强数学建模常用知识点；筛选传统几何、物理应用之例；融入现代技术、现代管理之例；融入生态环境应用之例和公民生活应用之例．

例如，在常微分方程的应用中，我们将生态环境教育融入“逻辑斯蒂曲线”方程的建立过程；在定积分的应用中，通过“人口规模”的建模，宣传“计划生育”这一基本国策；……．

2．4． “简约处理”原则

对那些在课程理论结构中不起支撑作用且在实际中不直接应用的纯理论知识做简约处理．

在“隐函数微分法”这个知识点上，可通过特例，引导读者“在方程（组）中认清因变量和自变量，瞄准哪个函数关于哪个自变量求导（偏导），然后从方程（组）中解出所要求的导数（偏导数）”．至于隐函数存在定理的冗长证明，雅克比行列式这样过于抽象的记号都舍了．这样做亦然能使学生领会隐函数微分法的思想实质，也不影响应用．

3． 《高等数学》编写原则分析

在遴选好教学内容后，我们针对应用型本科生的知识基础和理解能力现状，制定出合理的编写原则，根据这些编写原则来陈述、表现、传输所选的教学内容，使得《高等数学》的信息“源”转变为特定教育对象可接受的信息“流”．

3．1． “严谨性与量力性相结合”原则

严谨性是数学的特点之一，不严谨就不是数学，用起来就不放心．但这种严谨并非一下子形成的，而是在概念的形成，命题的发现过程中逐渐形成的．因而数学的严谨性具有相对性．《高等数学》教材应保持相对严谨，做到严谨有 “度”，就理解能力和知识准备状态而言，使得应用型本科生通过一定的努力是可以接受的．而不是望而生畏，开卷兴叹．就是要“量”学生之“力”，来确定严谨之“度”．做到“严谨与量力性相结合”．具体措施有两点．

（1）在内容处理上尽力做到深入浅出，化繁为简，化难为易；在语言上力求做到准确、透彻、通俗、精炼．

例如，可结合多元复合函数的复合脉络图，将链式求导法通俗的归纳为的表达式，可根据以下法则写出[5]：

（i）若结构图中a通向u的路径有几条，表达式便有几项之和构成；

（ii）a通向u的第i条路径有几层复合，则表达式中第i项是几个因子的成绩，这几个因子为该路径上所列变量的顺次连锁求导而得的偏导数（导数）．

这样既通俗又不失一般性．而这种处理方式处处可见．

（2）引入主要定理时，应破除了“定理条文陈述—证明过程—几点强调”的刻板模式，而是淡化证明，重视从科学结构、从应用需要上，创设情境自然引入所要传授的定理；用几何直观，用类比、归纳等思想方法诠释所传授的定理，使读者能悟出本质，明白原理，认清“源头”知晓“去处”，对所学内容“串得起来”，想得通，用的得当．

例如，在中值定理这一节，首先让学生观察几何图形引入极值的概念，然后分析相关曲线的形态引入“费马定理”；再通过一个实例提炼出“拉格朗日中值定理”，并用该实例启发做辅助函数来证明“拉格朗日中值定理”，而“罗尔定理”只作为“拉格朗日中值定理”的特例来处理，又将“拉格朗日中值定理”中的自变量x拓展为一般符合条件的函数，便得到“柯西中值定理”；而把“皮亚诺余项的泰勒公式”看成是微分定义式的推广，把“拉格朗日型余项的泰勒公式”看作“拉格朗日中值公式”的推广．这样便层次分明，线条清晰的勾勒出知识点间的逻辑链，这肯定是有益于学生对信息的破解及储存的[5]．

3．2． “具体与抽象相结合”原则

数学具有高度的抽象性，正因为高度抽象，才能反映客观世界的一般规律，而使得应用广泛．但过分抽象会使学生理解困难，形成学习上的“难点”．因而在编写时，要注意做到“具体与抽象相结合”．

对主要数学概念，或采用质朴的背景材料，从中抽象出本质属性而引人；或选择恰当的实例、特例，从具体到抽象，从个别到一般而引入．让读者体验到数学概念来源于生产、生活实际．来源于自然，摸得着、看得见，就在我们身边．

例如，我们用实例给出渐变过程，从而引人连续函数的概念；用实例给出函数的变化率从而引入导数；用实例给出函数增量用自变量增量的线性主部近似表示，从而引入微分；……．

总之，我们要坚持以上两条原则，写出“可读性”较强的教材，尽力使读者读能生趣，读有所获，读有所思，读有所用．

参考文献

[1] 同济大学数学系． 高等数学（上、下册）（第六版）（M）． 北京：高等教育出版社． 2007年6月． 1978年10月第一版．

[2] 邓建中． 高等数学（第二版）（M）． 西安：西北大学出版社． 2009年7月． 2006年7月第一版．

[3] 梁宗巨． 世界数学史简编（M）． 沈阳：辽宁出版社．

[4] 李心灿． 高等数学应用205例（M）． 北京：高等教育出版社． 1997． 

[5] 谢克藻． 高等数学（上、下册）（M）． 大连：大连理工大学出版社． 2010年4月．

[6] 刘春风． 高等数学（下册）（M）． 北京：科学出版社．

The research and practice of advanced mathematics textbook for applied undergraduate

Xie Ke Zao

（Department of Mathematics of AnKang University,

Shannxi, AnKang，725000）

Abstract: Advanced mathematics textbook for applied undergraduate must highlight the application. For the purpose of application, with the principle of sufficient, we can explore the functions of instrument, ideation and culture of the textbook and let it play a role in training the high quality talent.

Keywords: Applied undergraduate, Advanced mathematics, Textbook construction, Public education